第二届云师数学前沿讲习班

2025年8月4日 – 8月14日

云南师范大学数学学院, 昆明, 中国

关于会议

本次会议旨在促进数学各领域研究者之间的交流与合作，主题涵盖但不限于表示论、微分几何、几何拓扑、调和分析、偏微分方程、数论及数学物理等方向。

课程信息

本次会议包括以下短期课程（按确定时间排序）：

A history of spectral theory

归斌（清华大学）

归斌，清华大学丘成桐数学中心助理教授。美国Rutgers大学博士后。美国Vanderbilt大学博士毕业。研究方向：顶点算子代数。

Hilbert空间上的有界自伴算子谱分解定理是Hilbert空间理论中最重要的定理之一。然而，在现代泛函分析课程的包装下，谱定理的核心思想与动机变得极为晦涩。本课程试图从历史的角度厘清谱理论的思想脉络。我们将学习19世纪末Stieltjes对发散级数、连分数、以及相应的矩问题的研究如何催生了Stieltjes积分的概念，解释连分数问题的谱理论内涵，解释连分数的研究范式是如何成为谱理论研究的核心思想方法的。

Introduction to Morse theory

张秉宇（南丹麦大学(SDU)量子数学中心）

张秉宇，南丹麦大学博士后，2022年于法国格勒诺布尔大学获得博士学位。主要研究方向：代数分析，代数拓扑，辛几何。

本课程将继续微分拓扑学的基本技术：Morse理论。我们将介绍Morse理论的基本概念和方法：如何从临界点理论的角度去研究拓扑。并且我们将强调Smale的动力学观点，与相应的Morse同调理论。我们会集中在最基本的情形：有限维紧流形；但是我们会介绍不同的角度上我们可以进行何种推广的概要，如无穷维带上具有Palais-Smale条件的泛函，以及Floer理论，以适配不同的兴趣取向。

参考文献：

Milnor, John. Morse Theory. Princeton University Press, 1963.
Michèle Audin and Mihai Damian. Morse Theory and Floer Homology. Universitext. Springer London, 2014.
Michael Hutchings. Lecture Notes on Morse Homology.

从微分的视角看拓扑 —— 微分拓扑入门

何思奇（中国科学院晨兴数学中心）

何思奇, 本科毕业于北京大学，博士毕业于加州理工学院；后赴纽约大学石溪分校从事博士后研究工作。2022年3月至今任职中科院数学所的副研究员，国家级青年人才。研究方向为几何拓扑，主要研究与规范理论有关的几何，拓扑与分析问题。

本课程是微分拓扑的入门课程，面向有一定微积分和线性代数基础的本科生或初年级研究生。我们将以 Milnor 的经典讲义为蓝本，介绍光滑流形、向量场、萨德定理、映射度数、欧拉示性数等主题。课程旨在帮助同学对微分拓扑基本结构与思想的理解，为进一步学习 Morse 理论、示性类、流形上微分几何等内容奠定基础。

课程提纲：

1. 光滑流形与光滑映射
2. Sard 定理与 Brouwer 不动点定理
3. 映射的度
4. 向量场与欧拉示性数

教材：
John Milnor, Topology from the Differentiable Viewpoint, Princeton University Press, 1997.

参考拓展文献：

John Milnor and James Stasheff, Characteristic Classes, Princeton University Press, 1974.
Morris W. Hirsch, Differential Topology, Springer, 1976.
Victor Guillemin and Alan Pollack, Differential Topology, AMS Chelsea Publishing, 2010.
Shoshichi Kobayashi and Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. I, Wiley-Interscience, 1963.

Introduction of CR Yamabe problem

严泽田（UC Santa Barbara）

严泽田，美国UCSB现任博士后，2019年获吉林大学学士学位，2023年获宾州州立大学博士学位。研究方向：共形几何，高阶Willmore问题，共形算子及其不变量。

本课程是 CR Yamabe 问题的入门课程，面向具有一定分析和几何基础的本科生和研究生。我们将基于 Frank, Lieb, Lee 和 Jerison 等人的工作，介绍海森堡群、CR Sobolev 不等式、CR 流形、CR Yamabe 问题等主题。课程旨在帮助大家了解 CR Yamabe 问题的建立和解决思路。

课程提纲：

1. 海森堡群与交织算子
2. 海森堡群上的 Sobolev 不等式
3. CR 流形
4. CR Yamabe 问题

Introduction to hyperbolic geometry

汪湜（上海科技大学） wlsnb

汪湜，上海科技大学数学科学研究所助理教授，研究员，博士生导师，国家级青年人才。2016年于美国俄亥俄州立大学博士毕业。研究兴趣包括：微分几何，几何拓扑，几何群论与动力系统。在J.Eur.Math.Soc., Math.Ann., Geom.Topol., Forum Math.Sigma., Comment.Math.Helv.等刊物上发表论文十余篇。

双曲几何是一门古老的学科，可追溯至19世纪，始于人们对于欧式几何的公理化自然推广。而本课程主要从现代几何拓扑的视角出发介绍双曲流形，内容包括双曲流形的定义与构造，双曲结构的柔韧性与刚性，以及双曲流形的算术性与纤维化。课程的最后，我们将会讨论一些双曲几何中的最新进展，以及领域内一些著名的公开问题。

报告

以下为本次会议的邀请报告：

位势理论的历史

夏铭辰（中国科学技术大学几何与物理研究中心）

夏铭辰，中国科学技术大学几何与物理研究中心助理教授，国家级青年人才。法国Sorbonne大学博士后。2022年于瑞典Chalmers大学获得博士学位。主要研究领域为多重位势理论与复几何。在Geom.&Topol., Crelles等刊物上发表论文十余篇。

位势理论是一门研究次调和函数和多重次调和函数的数学分支。 19 世纪上半叶，随着静电学的发展，Poisson 和 Gauss 等数学家开始研究著名的 Poisson 方程。此后一个多世纪中，为解决该方程所需的数学工具不断发展，推动了数学诸多领域的深刻进步。在本次报告中，我将简要回顾位势理论的发展历程，从其起源一直到 Pierre Lelong 的时代。

对称空间上调和分析简介

张鸿伟（德国Paderborn大学）

张鸿伟，德国Paderborn大学博士后。2020年于法国Orléans大学获得博士学位。主要研究领域为对称空间及局部对称空间上的调和分析及应用。在Amer.J.Math., J.Funct.Anal., J.Geom.Anal., J.Differ.Equ.等刊物上发表论文十余篇。

非紧对称空间是一类带有非正截面曲率的黎曼流形。在本次报告中，我将简要介绍在这一空间上的调和分析工具，及其在偏微分方程中的应用。

Tate's Thesis Revisited

Alan Hou（Brandeis University）

去年我们初步讨论了John Tate的博士论文，本次我们将继续讨论该文章的后续影响和推广，以及相关理论，如Godement-Jacquet理论、Langlands纲领等。

圆环上保面积映射的周期轨道存在性分析

曲华迪（四川大学）

曲华迪，四川大学博士后，2024年于南方科技大学获得博士学位，主要研究方向为曲面动力系统。

曲面上保面积映射的周期轨道的分布规律是经典动力系统领域中兼具历史深度与现代活力的研究课题。本报告拟先介绍简单的圆周同胚的性质，给出旋转数的定义，简要介绍Poincaré-Birkhoff不动点定理和 Franks 定理，之后简要介绍该理论在不变测度意义下的某些推广，并引入可以用于描述周期轨道分布规律的又一重要不变量即平均作用量。本报告介绍的主要工作为与本人博士导师夏志宏教授的合作工作。

Non-Archimedean pseudo-differential operators motivated from p-adic strings

An Huang（Brandeis University）

An Huang is an associate professor at Brandeis University. He graduated from UC Berkeley under the supervision of Richard Borcherds. He was a postdoc at Harvard University. Prof. Huang is interested in mathematical physics, algebraic geometry, and number theory. In particular, he currently works on p-adic string theory. He is also interested in analysis on graphs.

What is the p-adic counterpart of the derivative operator, or the Laplacian? I shall describe a number of Non-Archimedean pseudo-differential operators arising in part from considerations in p-adic string theory. I shall explain the connections to Tate's thesis in genus zero, and then in genus one, explain the computation of the Green's function on the Tate curve. If time permits, a question regarding the heat kernel on the infinite regular tree shall be mentioned.

课程与报告日程（地点：武之楼406）

时间	8月5日	8月6日	8月7日	8月8日	8月9日	8月10日	8月11日	8月12日	8月13日	8月14日
10:00–11:00	归斌	归斌	张秉宇	张秉宇	休息	休息	汪湜	汪湜	严泽田	严泽田
11:00–11:20	coffee break						coffee break
11:20–12:20	归斌	归斌	张秉宇	张秉宇			汪湜	汪湜	严泽田	严泽田
12:20–14:30	午休						午休
14:30–15:30	何思奇	何思奇	夏铭辰	夏铭辰				曲华迪
15:30–16:00	coffee break						coffee break
16:00–17:00	何思奇	何思奇	张鸿伟	Alan Hou			黄岸（线上）	曲华迪

Contact

如有问题，请联系 yangzhipeng326@163.com。

Last updated: July 2025